ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
Принцип оптимальности. На каждом шаге управление выбирается так, чтобы оно в совокупности со всеми оптимальными управлениями на всех последующих шагах приводило к наилучшему суммарному показателю эффективности. Т.е. управление должно выбираться исходя из оптимальности управления в целом, а не только на каком-то конкретном шаге. В основу этого принципа положены особенности модели ДП. На основе данного принципа были сформулированы рекуррентные формулы Беллмана. Применение данных формул возможно на базе обратной или прямой схемы Беллмана. В обоих случаях является показателем эффективности k -ого шага. На каждом шаге оптимальное управление выбирается из множества возможных управлений . Обратная схема Беллмана. При обратной схеме оптимизация осуществляется в результате обратного движения от последнего шага к первому. Сначала определяется оптимальная стратегия управления на n -ом шаге, затем на двух последних шагах, потом на трех последних шагах и т.д. до первого шага. n -й шаг: состояние системы, зависящее от состояния , - управление на n -ом шаге, - целевая функция n -го шага. Оптимальный показатель эффективности n –го шага , равный суммарному показателю эффективности всех предыдущих шагов на множестве всевозможных управлений всевозможных состояний системы. (n-1)-ый шаг к -ый шаг ……………… 1 -ый шаг Таким образом, в результате прохождения всех шагов от последнего к первому определяется оптимальное значение целевой функции. Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т.е. определить решение задачи - , необходимо снова пройти всю последовательность шагов, только от начала к концу. На первом шаге в качестве оптимального управления выбирается найденное условно оптимальное управление , характеризуемое показателем эффективности . Зная и , на втором шаге находится и управление и т.д. Процесс решения можно представить в виде схемы: Прямая схема Беллмана При прямой схеме процесс поиска решения выполняется в направлении от первого шага к последнему. Сначала определяют оптимальную стратегию управления на первом шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д. до последнего шага. 1 шаг На данном шаге состояние системы - , предыдущее состояние - . - множество управлений на первом шаге. Показатель эффективности 1-го шага - . 2 шаг . …………….. k – ый шаг …………….. n- ый шаг В результате прохождения всех шагов от первого к последнему определяется оптимальное значение целевой функции, которое приравнивается оптимальному показателю эффективности n -го шага . Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т.е. определить решение задачи - , необходимо снова пройти всю последовательность шагов - от последнего к первому. Поиск оптимальной стратегии можно представить в виде схемы:
Общая схема применения метода ДП
1. Выбирается способ деления процесса управления на шаги. 2. Определяются параметры состояния и переменные управления на каждом шаге. 3. Записываются уравнения состояний . 4. Вводится целевая функция. 5. Вводится в рассмотрение условные максимумы (минимумы) и условное оптимальное управление на k -м шаге: (в случае обратной схемы Беллмана), (при прямой схеме Беллмана). 6. Записываются основные уравнения для выбранной схемы Беллмана. 7. Последовательно решаются записанные уравнения Беллмана и получаются две последовательности функций: и . 8. После выполнения условной оптимизации определяется оптимальное решение поставленной задачи и .
Задача распределения средств между предприятиями Задача распределения ресурсов между предприятиями является задачей динамического программирования. Пусть имеется некоторая сумма средств, которую необходимо вложить в одно или несколько предприятий, чтобы получить максимальную прибыль от инвестирования. Предполагается, что в каждое из рассматриваемых предприятий может быть вложена как вся сумма инвестиций, так и частично, либо в предприятие может быть ничего не вложено, если инвестиции в него не эффективны. Для каждого предприятия должен быть рассчитан показатель эффективности инвестиций, который определяется в результате решения задачи ЛП о планировании производства. Математическая модель для каждого вида предприятия имеет вид: Целевая функция при ограничениях: В модели использованы следующие обозначения: - цена на j- ый вид товара для k -ого предприятия; - оптимальный объем закупки i -ого вида ресурса k -ым предприятием; - уровень запаса i -ого вида ресурса на k -ом предприятии; - оптимальный план производства j -ого вида продукции на k -ом предприятии; - норма расхода i -ого вида ресурса для производства единицы продукции j -ого вида на k -ом предприятии; - рыночная цена i -ого вида ресурса для k -ого предприятия; - объем финансовых средств, выделенных k -ому предприятию; - минимальный объем заказов j -ого вида продукции на k -ом предприятии; - предельная емкость рынка по j -ому виду продукции для k -ого предприятия. В результате решения данной задачи будет получена величина дополнительного дохода от работы предприятия, которая представляет собой разницу прибыли при выделении инвестиций и прибыли, если инвестиции не производятся. Вычисленные методами линейного программирования показатели эффективности деятельности каждого предприятия в зависимости от объема получаемых финансовых средств в дальнейшем используются для нахождения оптимального распределения средств между предприятиями методами динамического программирования. Предполагается, что: 1. дополнительный доход каждого предприятия не зависит от объемов вложения средств в другие предприятия; 2. дополнительный доход каждого предприятия выражается в одних и тех же единицах; 3. совокупный дополнительный доход равен сумме дополнительных доходов, полученных каждым предприятием. Для определения оптимальных средств инвестирования необходимо пройти следующие этапы: 1. интервал изменения выделяемых средств разбивается на элементарные отрезки; 2. для заданных значений выделяемых средств определяются показатели эффективности для всех предприятий; 3. по обратной (прямой) схеме используются уравнения Беллмана; 4. в обратной (прямой) последовательности, начиная от находятся оптимальные значения выделяемых средств .
Пример. Планируется деятельность 4 промышленных предприятий на очередной год. Необходимо между ними распределить 400 единиц ограниченного ресурса Q. Каждое предприятие i в зависимости от объема выделенных средств x получает дополнительный доход fi(x). Распределение ресурсов производится с точностью 80 единиц. Необходимо определить оптимальное распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальную эффективность деятельности всех предприятий. Объемы получаемых дополнительных доходов в зависимости от выделенных ресурсов x представлены в таблице 1. Таблица 1
Рассмотрим обратную схему Беллмана. Согласно обратной схеме Беллмана начинаем с определения условно оптимальных капиталовложений, выделяемых для последнего четвертого (n -ого) предприятия. Для этого находим значения для каждого x, принимающего значения 0, 80, 160, 240, 320, 400. 4 шаг. Показатель эффективности 4-ого предприятия, равный суммарному показателю эффективности на всех шагах определяется как . 3 шаг Находим - суммарный показатель эффективности деятельности 3 и 4 предприятий .
2 шаг Вычислим объединённый показатель эффективности деятельности 2, 3 и 4 предприятий - . 1 шаг Объединённый показатель эффективности деятельности 4-х предприятий - . Таблица 2
Чтобы найти оптимальную стратегию управления, необходимо рассмотреть всю последовательность шагов от последнего к первому. В результате решения задачи распределения средств между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной эффективности деятельности 4-х предприятий, равной 203 у.е., 1-ому и 2-ому предприятиям следует не выделять ресурсов, 3 предприятию необходимо выделить 240 единиц ресурса, 4-ому – 160 единиц.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|