ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюсяподпоследовательность .Доказательство: Следовательно, по определению, наша последовательность стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть: Замечание Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так: 21) Число Непера (второй замечательный предел) Среди неопределенностей вида существует предел, играющий исключительную роль в высшей математике, называемый вторым замечательным пределом: , (27) Иррациональное число е (число Непера) равно
22) Теорема Больцано-Вейштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака. 23) Верхний и нижний пределы последовательности Если задана произвольная последовательность действительных чисел , то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности. Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности . По определению верхним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими двумя свойствами. 1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к : . 2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности . Верхний предел последовательности обозначают одним из символов . Если последовательность не ограничена сверху, то очевидно, . Переменная имеет . Вот еще пример: . Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел . Для ограниченной сверху последовательности ее верхний предел может быть определен также следующим образом: для всякого правее имеется разве что конечное число точек , правее же заведомо имеется бесконечное число точек . Отметим, что если последовательность имеет обычный (конечный) предел , то, как мы знаем, для любого неравенства выполняются для всех , за исключением их конечного числа. Таким образом, правее имеется не более чем конечное число элементов , а правее - заведомо бесконечное их число. Это показывает также, что . Итак, если , то и . Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левее имеется не более чем конечное число точек , а в случае верхнего предела левее может быть и бесконечное число точек . По определению нижним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими свойствами: 1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к : 24) . 2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности . Нижний предел переменной обозначают одним из символов . Если последовательность не ограничена снизу, то, очевидно, . Для ограниченной снизу последовательности нижний предел можно определить также следующим образом: для всякого левее имеется разве что конечное число точек (элементов) , левее же заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) .
Очевидно, что . (1) Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность имела предел (конечный, или ), необходимо и достаточно, чтобы , и тогда .
Заметим, что если , то в силу (1) , и по теореме 1 . Очевидно также, что из равенства вытекает, что . З а м е ч а н и е. Можно показать, что число , которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, является верхним пределом : . Это вытекает из того, что правее каждого отрезка имеется не больше чем конечное число точек . С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек , то мы бы получили, возможно, другую точку , содержащуюся во всех , и эта точка была бы нижним пределом . Если переменная не имеет предела, то заведомо , если же предел существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу . 25) Фундаментальные последовательности. Критерий Коши. Последовательность называется фундаментальной, если для существует номер такой, что для любых выполняется неравенство: Свойства фундаментальных последовательностей: 1. Если последовательность фундаментальная, тогда существует такой номер , что в -окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера. 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|